Teorema de Probabilidad Total (TPT)

Si \(\{B_1, B_2, \ldots, B_n\}\) es una partición de \(\Omega\), entonces:
\[
\mathbb{P}(A) = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A|B_i) \mathbb{P}(B_i)
\]
 

 
 Simulador: Urnas con bolas 
 
 Urna 1 - Blancas: 
 
 3 
 Urna 1 - Negras: 
 
 7 
 Urna 2 - Blancas: 
 
 6 
 Urna 2 - Negras: 
 
 4 
 P(Urna 1): 
 
 0.50 
 Simular extracción 
 
 
 

 
 Demostración 
\[
A = A \cap \Omega = A \cap \left(\bigcup_i B_i\right) = \bigcup_i (A \cap B_i)
\]
Como los \(B_i\) son ajenos, los \(A \cap B_i\) también lo son. Por K3:
\[
\mathbb{P}(A) = \sum_i \mathbb{P}(A \cap B_i) = \sum_i \mathbb{P}(A|B_i)\mathbb{P}(B_i)
\]
 

 Ejemplo del PDF (fumadores): 40% hombres (50% fuman), 60% mujeres (30% fuman) 
\[
\mathbb{P}(F) = 0.5 \times 0.4 + 0.3 \times 0.6 = 0.2 + 0.18 = 0.38
\]

 Ejercicio 

 
 (Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 5, ej. 5) Tres cocineros \(A,B,C\) hacen una clase especial de pastel; respectivamente, cada cocinero tiene probabilidad 0.02, 0.03 y 0.05 de que no se esponje. En el restaurante, \(A\) hornea 50% de los pasteles, \(B\) 30% y \(C\) 20%. ¿Qué proporción de "fallas" es causada por \(A\)? 
Sea \(F\)="el pastel no se esponja". Por TPT,
\[
\mathbb{P}(F) = 0.02(0.5) + 0.03(0.3) + 0.05(0.2) = 0.010+0.009+0.010 = 0.029.
\]
Se busca \(\mathbb{P}(A|F)\) por Bayes:
\[
\mathbb{P}(A|F) = \frac{0.02(0.5)}{0.029} = \frac{0.010}{0.029} \approx 0.345.
\]
Es decir, aproximadamente el 34.5% de las fallas son causadas por el cocinero \(A\).