# Teorema de Probabilidad Total (TPT)

<div class="taller" data-applet="cpi-pc-tpt" id="bkmrk-si-%5C%28%5C%7Bb_1%2C-b_2%2C-%5Cld"><div class="taller-container"><div class="callout info">Si \(\{B_1, B_2, \ldots, B_n\}\) es una **partición** de \(\Omega\), entonces: \[ \mathbb{P}(A) = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A|B_i) \mathbb{P}(B_i) \] </div><div class="card">#### Simulador: Urnas con bolas

<div class="taller-controles"><label>Urna 1 - Blancas:</label><span id="bkmrk-cpi-prob-condicional-urna1-b-val">3</span><label>Urna 1 - Negras:</label><span id="bkmrk-cpi-prob-condicional-urna1-n-val">7</span><label>Urna 2 - Blancas:</label><span id="bkmrk-cpi-prob-condicional-urna2-b-val">6</span><label>Urna 2 - Negras:</label><span id="bkmrk-cpi-prob-condicional-urna2-n-val">4</span><label>P(Urna 1):</label><span id="bkmrk-cpi-prob-condicional-p-urna1-val">0.50</span><button class="button" id="bkmrk-cpi-prob-condicional-simular-tpt">Simular extracción</button></div><div class="taller-formula" id="bkmrk-cpi-prob-condicional-tpt-resultado"></div></div><details class="callout warning"><summary>Demostración</summary>

\\\[ A = A \\cap \\Omega = A \\cap \\left(\\bigcup\_i B\_i\\right) = \\bigcup\_i (A \\cap B\_i) \\\] Como los \\(B\_i\\) son ajenos, los \\(A \\cap B\_i\\) también lo son. Por K3: \\\[ \\mathbb{P}(A) = \\sum\_i \\mathbb{P}(A \\cap B\_i) = \\sum\_i \\mathbb{P}(A|B\_i)\\mathbb{P}(B\_i) \\\] </details>**Ejemplo del PDF (fumadores):** 40% hombres (50% fuman), 60% mujeres (30% fuman)

\[ \mathbb{P}(F) = 0.5 \times 0.4 + 0.3 \times 0.6 = 0.2 + 0.18 = 0.38 \] ## Ejercicio

<details class="callout info"><summary>(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 5, ej. 5) Tres cocineros \\(A,B,C\\) hacen una clase especial de pastel; respectivamente, cada cocinero tiene probabilidad 0.02, 0.03 y 0.05 de que no se esponje. En el restaurante, \\(A\\) hornea 50% de los pasteles, \\(B\\) 30% y \\(C\\) 20%. ¿Qué proporción de "fallas" es causada por \\(A\\)?</summary>

Sea \\(F\\)="el pastel no se esponja". Por TPT, \\\[ \\mathbb{P}(F) = 0.02(0.5) + 0.03(0.3) + 0.05(0.2) = 0.010+0.009+0.010 = 0.029. \\\] Se busca \\(\\mathbb{P}(A|F)\\) por Bayes: \\\[ \\mathbb{P}(A|F) = \\frac{0.02(0.5)}{0.029} = \\frac{0.010}{0.029} \\approx 0.345. \\\] Es decir, aproximadamente el 34.5% de las fallas son causadas por el cocinero \\(A\\). </details></div></div>