Teorema de Probabilidad Total (TPT)
Si \(\{B_1, B_2, \ldots, B_n\}\) es una partición de \(\Omega\), entonces:
\[
\mathbb{P}(A) = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A|B_i) \mathbb{P}(B_i)
\]
Simulador: Urnas con bolas
3
7
6
4
0.50
Demostración
\[ A = A \cap \Omega = A \cap \left(\bigcup_i B_i\right) = \bigcup_i (A \cap B_i) \] Como los \(B_i\) son ajenos, los \(A \cap B_i\) también lo son. Por K3: \[ \mathbb{P}(A) = \sum_i \mathbb{P}(A \cap B_i) = \sum_i \mathbb{P}(A|B_i)\mathbb{P}(B_i) \]Ejemplo del PDF (fumadores): 40% hombres (50% fuman), 60% mujeres (30% fuman)
\[ \mathbb{P}(F) = 0.5 \times 0.4 + 0.3 \times 0.6 = 0.2 + 0.18 = 0.38 \]