Suma de Variables Independientes

Si \(X\) e \(Y\) son independientes:
\[
m_{X+Y}(t) = m_X(t) \cdot m_Y(t)
\]
Esto permite encontrar la distribución de sumas de variables independientes.
 

 
 Calculadora de suma de independientes 
 
 Distribución de X: 
 
 Poisson(λ₁) 
 Binomial(n₁,p) 
 Normal(μ₁,σ₁²) 
 
 Distribución de Y: 
 
 Poisson(λ₂) 
 Binomial(n₂,p) 
 Normal(μ₂,σ₂²) 
 
 Calcular distribución de X+Y 
 
 
 

 Ejemplos clásicos (por unicidad): 
 
 \(X_i \sim \text{Poisson}(\lambda_i)\) independientes ⇒ \(\sum X_i \sim \text{Poisson}(\sum \lambda_i)\) 
 \(X_i \sim \text{Binomial}(n_i, p)\) independientes ⇒ \(\sum X_i \sim \text{Binomial}(\sum n_i, p)\) 
 \(X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)\) independientes ⇒ \(\sum X_i \sim N(\sum \mu_i, \sum \sigma_i^2)\) 
 

 
 ¿La suma de Bernoulli independientes qué distribución sigue? 
Si \(X_i \sim \text{Bernoulli}(p)\) independientes, entonces \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i \sim \text{Binomial}(n,p)\). La FGM de Bernoulli es \(q+pe^t\), elevada a la n da \((q+pe^t)^n\), que es la FGM de Binomial(n,p).
 

 Ejercicio 

 
 (Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 11, ej. 5) Una variable aleatoria \(X\) tiene función generadora de momentos \(m_X(t)=(0.2e^t+0.8)^8\). Determine: (a) la distribución de \(X\), (b) \(\mathbb{P}[X>0]\) y \(\mathbb{P}[1\le X\le4]\), (c) esperanza y varianza. 
(a) La forma \((q+pe^t)^n\) con \(p=0.2\), \(q=0.8\), \(n=8\) es la FGM de \(X\sim\text{Binomial}(8, 0.2)\); por el teorema de unicidad, \(X\) tiene exactamente esa distribución. 
(b) \(\mathbb{P}[X>0] = 1-\mathbb{P}[X=0] = 1-(0.8)^8 \approx 0.8322\). 
\(\mathbb{P}[1\le X\le4] = \sum_{k=1}^4\binom{8}{k}(0.2)^k(0.8)^{8-k} \approx 0.8218\). 
(c) \(\mathbb{E}[X]=np=1.6\), \(\operatorname{var}(X)=np(1-p)=1.28\).