# Suma de Variables Independientes

<div class="taller" data-applet="cpi-fgm-suma" id="bkmrk-si-%5C%28x%5C%29-e-%5C%28y%5C%29-son"><div class="taller-container"><div class="callout info">Si \(X\) e \(Y\) son independientes: \[ m_{X+Y}(t) = m_X(t) \cdot m_Y(t) \] Esto permite encontrar la distribución de sumas de variables independientes. </div><div class="card">#### Calculadora de suma de independientes

<div class="taller-controles"><label>Distribución de X:</label><select id="bkmrk-cpi-fgm-dist-sumaX"><option value="poisson">Poisson(λ₁)</option><option value="binomial">Binomial(n₁,p)</option><option value="normal">Normal(μ₁,σ₁²)</option></select><label>Distribución de Y:</label><select id="bkmrk-cpi-fgm-dist-sumaY"><option value="poisson">Poisson(λ₂)</option><option value="binomial">Binomial(n₂,p)</option><option value="normal">Normal(μ₂,σ₂²)</option></select><button class="button" id="bkmrk-cpi-fgm-calcular-suma">Calcular distribución de X+Y</button></div><div class="taller-formula" id="bkmrk-cpi-fgm-suma-resultado"></div></div>**Ejemplos clásicos (por unicidad):**

- \\(X\_i \\sim \\text{Poisson}(\\lambda\_i)\\) independientes ⇒ \\(\\sum X\_i \\sim \\text{Poisson}(\\sum \\lambda\_i)\\)
- \\(X\_i \\sim \\text{Binomial}(n\_i, p)\\) independientes ⇒ \\(\\sum X\_i \\sim \\text{Binomial}(\\sum n\_i, p)\\)
- \\(X\_i \\sim N(\\mu\_i, \\sigma\_i^2)\\) independientes ⇒ \\(\\sum X\_i \\sim N(\\sum \\mu\_i, \\sum \\sigma\_i^2)\\)

<details class="callout info"><summary>**¿La suma de Bernoulli independientes qué distribución sigue?**</summary>

Si \\(X\_i \\sim \\text{Bernoulli}(p)\\) independientes, entonces \\(S\_n = \\sum\_{i=1}^n X\_i \\sim \\text{Binomial}(n,p)\\). La FGM de Bernoulli es \\(q+pe^t\\), elevada a la n da \\((q+pe^t)^n\\), que es la FGM de Binomial(n,p). </details>## Ejercicio

<details class="callout info"><summary>(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 11, ej. 5) Una variable aleatoria \\(X\\) tiene función generadora de momentos \\(m\_X(t)=(0.2e^t+0.8)^8\\). Determine: (a) la distribución de \\(X\\), (b) \\(\\mathbb{P}\[X&gt;0\]\\) y \\(\\mathbb{P}\[1\\le X\\le4\]\\), (c) esperanza y varianza.</summary>

(a) La forma \\((q+pe^t)^n\\) con \\(p=0.2\\), \\(q=0.8\\), \\(n=8\\) es la FGM de \\(X\\sim\\text{Binomial}(8, 0.2)\\); por el teorema de unicidad, \\(X\\) tiene exactamente esa distribución.  
(b) \\(\\mathbb{P}\[X&gt;0\] = 1-\\mathbb{P}\[X=0\] = 1-(0.8)^8 \\approx 0.8322\\).  
\\(\\mathbb{P}\[1\\le X\\le4\] = \\sum\_{k=1}^4\\binom{8}{k}(0.2)^k(0.8)^{8-k} \\approx 0.8218\\).  
(c) \\(\\mathbb{E}\[X\]=np=1.6\\), \\(\\operatorname{var}(X)=np(1-p)=1.28\\). </details></div></div>