Se lanzan \(n\) bolas en \(r\) cajas al azar. La probabilidad de que exactamente \(k\) cajas queden vacías es: \[ p_k(r, n) = \binom{r}{k} \sum_{j=0}^{r-k} (-1)^j \binom{r-k}{j} \left(1 - \frac{j+k}{r}\right)^n \]

#### Simulador: Bolas en cajas

r (cajas):5n (bolas):10

**Caso particular: ninguna caja vacía** \[ p_0(r, n) = \sum_{j=0}^{r} (-1)^j \binom{r}{j} \left(1 - \frac{j}{r}\right)^n \] Para \\(r=n=5\\): \\(p\_0 = \\frac{5!}{5^5} = \\frac{120}{3125} = 0.0384\\)

**¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una caja quede vacía?**

Para \\(r=n\\), la probabilidad de que exactamente una caja quede vacía es \\\[ p\_1 = \\binom{r}{1} \\left(1 - \\frac{1}{r}\\right)^n \\sum\_{j=0}^{r-1} (-1)^j \\binom{r-1}{j} \\left(1 - \\frac{j+1}{r}\\right)^n \\\] Para \\(r=n=5\\), \\(p\_1 \\approx 0.384\\). ¡Es más probable tener una caja vacía que ninguna!

## Ejercicio

Para \\(r=n=3\\) (3 bolas en 3 cajas), use la fórmula de \\(p\_0(r,n)\\) para calcular la probabilidad de que ninguna caja quede vacía, y la de que al menos una quede vacía.

\\\[ p\_0(3,3) = \\binom{3}{0}(1)^3 - \\binom{3}{1}\\left(\\tfrac23\\right)^3 + \\binom{3}{2}\\left(\\tfrac13\\right)^3 - \\binom{3}{3}(0)^3 = 1 - \\tfrac{24}{27} + \\tfrac{3}{27} - 0 = \\tfrac{6}{27} = \\tfrac{2}{9} \\approx 0.2222. \\\] Esto coincide con contar directamente: de las \\(3^3=27\\) formas de asignar 3 bolas a 3 cajas, las que no dejan ninguna vacía son las biyecciones, \\(3!=6\\), dando \\(6/27=2/9\\). Por lo tanto \\(\\mathbb{P}(\\text{al menos una vacía}) = 1-\\tfrac29 = \\tfrac79 \\approx 0.7778\\).