# Distribuciones Uniforme y Exponencial

<div class="taller" data-applet="cpi-dcp-uniforme-exp" id="bkmrk-uniforme%28a%2Cb%29%3A-%5C%28f%28x"><div class="taller-container"><div class="callout info">**Uniforme(a,b):** \(f(x)=\frac{1}{b-a}\), \(\mathbb{E}[X]=\frac{a+b}{2}\), \(\operatorname{var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\)  
**Exponencial(λ):** \(f(t)=\lambda e^{-\lambda t}\), \(\mathbb{E}[T]=\frac{1}{\lambda}\), \(\operatorname{var}(T)=\frac{1}{\lambda^2}\)  
**Pérdida de memoria:** \(\mathbb{P}(T &gt; t+s | T &gt; s) = \mathbb{P}(T &gt; t)\) </div><div class="card">#### Simulador y verificador de pérdida de memoria

<div class="taller-controles"><label>Distribución:</label><select id="bkmrk-cpi-dist-cont-par-dist-ue"><option value="uniforme">Uniforme(0,1)</option><option value="exponencial">Exponencial(λ=1)</option></select><div id="bkmrk-cpi-dist-cont-par-param-ue"></div><label>s:</label><span id="bkmrk-cpi-dist-cont-par-s-ue-val">1.0</span><label>t:</label><span id="bkmrk-cpi-dist-cont-par-t-ue-val">1.0</span><button class="button" id="bkmrk-cpi-dist-cont-par-simular-ue">Simular</button></div><canvas class="taller-canvas" height="200" id="bkmrk-cpi-dist-cont-par-ueCanvas" width="500"></canvas><div class="taller-formula" id="bkmrk-cpi-dist-cont-par-ue-info"></div></div>**Ejemplo del PDF (autos a exceso de velocidad):**  
λ=8.4 autos/hora = 0.14 autos/min. \\\[ \\mathbb{P}(T &gt; 10) = e^{-0.14·10}=0.2466 \\\] \\\[ \\mathbb{P}(T &gt; 10|T &gt; 5) = e^{-0.14·5}=0.4965 \\\]

## Ejercicio

<details class="callout info"><summary>(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 15, ej. 5) El tiempo medido en horas para reparar una máquina es una variable aleatoria exponencial de parámetro \\(\\lambda=1/2\\). ¿Cuál es la probabilidad de que un tiempo de reparación (a) exceda 2 horas, (b) tome a lo sumo 4 horas, (c) tome a lo sumo 4 horas dado que no se ha logrado la reparación en las primeras 2 horas?</summary>

Sea \\(T\\sim\\text{Exponencial}(\\lambda=1/2)\\), con \\(\\mathbb{P}(T&gt;t)=e^{-t/2}\\).   
  
**a)** \\(\\mathbb{P}(T&gt;2) = e^{-1} \\approx 0.36788\\)   
  
**b)** \\(\\mathbb{P}(T\\le4) = 1-e^{-2} \\approx 0.86466\\)   
  
**c)** Por la pérdida de memoria, \\(T-2 \\mid T&gt;2 \\sim \\text{Exponencial}(\\lambda=1/2)\\), así que \\\[ \\mathbb{P}(T\\le4 \\mid T&gt;2) = \\mathbb{P}(T-2\\le2 \\mid T&gt;2) = 1-e^{-2\\cdot(1/2)} = 1-e^{-1} \\approx 0.63212. \\\] Nótese que esta probabilidad condicional es igual a \\(\\mathbb{P}(T\\le2)\\): haber esperado ya 2 horas sin éxito no cambia la probabilidad de necesitar 2 horas más. </details></div></div>