Asimetría (Sesgo) y Curtosis

Coeficiente de asimetría (Fisher-Pearson): 
\[
\eta_3 = \mathbb{E}\left[\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)^3\right]
\]
\(\eta_3 = 0\) (simétrica), \(\eta_3 > 0\) (cola derecha más larga), \(\eta_3 < 0\) (cola izquierda más larga) 
 Coeficiente de curtosis: \(\eta_4 = \mathbb{E}\left[\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)^4\right]\) 
Exceso de curtosis: \(\varepsilon = \eta_4 - 3\). Normal tiene \(\varepsilon = 0\)
 

 
 Visualización de formas de densidad 
 
 Tipo de distribución: 
 
 Simétrica (Normal) 
 Sesgo a la derecha (Gamma α=2) 
 Sesgo a la izquierda (Beta invertida) 
 Leptocúrtica (t-Student gl=3) 
 Platicúrtica (Uniforme) 
 
 Graficar 
 
 
 
 

 Distribuciones de referencia: 
 
 Normal(0,1): \(\eta_3 = 0\), \(\eta_4 = 3\) 
 Exponencial(1): \(\eta_3 = 2\), \(\eta_4 = 9\) (sesgo positivo, leptocúrtica) 
 Uniforme(-√3, √3): \(\eta_3 = 0\), \(\eta_4 = 1.8\) (platicúrtica) 
 

 Ejercicio 

 
 Demuestre que para \(X\sim\text{Bernoulli}(p)\), el coeficiente de asimetría es \(\eta_3 = \dfrac{1-2p}{\sqrt{p(1-p)}}\), y verifique que \(\eta_3=0\) cuando \(p=0.5\). 
Con \(\mu=p\) y \(\sigma^2=p(1-p)\): \(X-\mu\) toma el valor \(-p\) (con prob. \(1-p\)) o \(1-p\) (con prob. \(p\)). Entonces
\[
\mathbb{E}[(X-\mu)^3] = (-p)^3(1-p) + (1-p)^3 p = p(1-p)\big[-p^2+(1-p)^2\big] = p(1-p)(1-2p).
\]
Dividiendo entre \(\sigma^3 = [p(1-p)]^{3/2}\):
\[
\eta_3 = \frac{p(1-p)(1-2p)}{[p(1-p)]^{3/2}} = \frac{1-2p}{\sqrt{p(1-p)}}.
\]
Para \(p=0.5\): \(\eta_3 = (1-1)/\sqrt{0.25} = 0\), consistente con que Bernoulli(0.5) es simétrica. Para \(p=0.3\), \(\eta_3\approx0.873>0\) (sesgo positivo, coherente con que la mayoría de la masa está en \(x=0\)).