Asimetría (Sesgo) y Curtosis

Coeficiente de asimetría (Fisher-Pearson): \[ \eta_3 = \mathbb{E}\left[\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)^3\right] \] \(\eta_3 = 0\) (simétrica), \(\eta_3 > 0\) (cola derecha más larga), \(\eta_3 < 0\) (cola izquierda más larga)
Coeficiente de curtosis: \(\eta_4 = \mathbb{E}\left[\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)^4\right]\)
Exceso de curtosis: \(\varepsilon = \eta_4 - 3\). Normal tiene \(\varepsilon = 0\)

Visualización de formas de densidad

Distribuciones de referencia:

  • Normal(0,1): \(\eta_3 = 0\), \(\eta_4 = 3\)
  • Exponencial(1): \(\eta_3 = 2\), \(\eta_4 = 9\) (sesgo positivo, leptocúrtica)
  • Uniforme(-√3, √3): \(\eta_3 = 0\), \(\eta_4 = 1.8\) (platicúrtica)

Ejercicio

Demuestre que para \(X\sim\text{Bernoulli}(p)\), el coeficiente de asimetría es \(\eta_3 = \dfrac{1-2p}{\sqrt{p(1-p)}}\), y verifique que \(\eta_3=0\) cuando \(p=0.5\). Con \(\mu=p\) y \(\sigma^2=p(1-p)\): \(X-\mu\) toma el valor \(-p\) (con prob. \(1-p\)) o \(1-p\) (con prob. \(p\)). Entonces \[ \mathbb{E}[(X-\mu)^3] = (-p)^3(1-p) + (1-p)^3 p = p(1-p)\big[-p^2+(1-p)^2\big] = p(1-p)(1-2p). \] Dividiendo entre \(\sigma^3 = [p(1-p)]^{3/2}\): \[ \eta_3 = \frac{p(1-p)(1-2p)}{[p(1-p)]^{3/2}} = \frac{1-2p}{\sqrt{p(1-p)}}. \] Para \(p=0.5\): \(\eta_3 = (1-1)/\sqrt{0.25} = 0\), consistente con que Bernoulli(0.5) es simétrica. Para \(p=0.3\), \(\eta_3\approx0.873>0\) (sesgo positivo, coherente con que la mayoría de la masa está en \(x=0\)).
Revision #2
Created 2026-09-11 00:23:29 UTC by Cheque Soto
Updated 2026-09-11 17:42:36 UTC by Cheque Soto