La **función generadora de momentos (FGM)** de una v.a. \(X\) es: \[ m_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] \] Siempre que la esperanza exista para \(|t| < \delta\) con \(\delta > 0\).

#### Explorador de FGM

Distribución:

Generación de momentos

\\\[ \\mathbb{E}\[X^r\] = m\_X^{(r)}(0) = \\left. \\frac{d^r}{dt^r} m\_X(t) \\right|\_{t=0} \\\] **Demostración:** Desarrollando \\(e^{tX} = \\sum\_{k=0}^\\infty (tX)^k/k!\\), tomando esperanza y derivando.

**Ejemplos del PDF:** - Bernoulli(p): \\(m\_X(t) = q + pe^t\\) - Exponencial(λ): \\(m\_T(t) = \\frac{\\lambda}{\\lambda - t} = (1 - t/\\lambda)^{-1}\\) - Poisson(λ): \\(m\_N(t) = e^{\\lambda(e^t - 1)}\\)

**¿Qué significa que \\(m\_X(0) = 1\\)?**

\\(m\_X(0) = \\mathbb{E}\[e^{0 \\cdot X}\] = \\mathbb{E}\[1\] = 1\\). Es una propiedad fundamental que verifica que la FGM está bien definida.

## Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 11, ej. 2) Sea \\(Y\\sim\\text{Geo}(p)\\), es decir \\(f(y)=pq^{y-1}\\mathbb{1}\_{\\{1,2,\\ldots\\}}(y)\\), \\(q=1-p\\). Demuestre que \\(m\_Y(t) = \\dfrac{pe^t}{1-qe^t}\\), y encuentre la media y varianza de \\(Y\\) usando la FGM.

\\\[ m\_Y(t) = \\sum\_{y=1}^\\infty pq^{y-1}e^{ty} = pe^t\\sum\_{y=1}^\\infty (qe^t)^{y-1} = \\frac{pe^t}{1-qe^t}, \\quad \\text{válido si } qe^t<1. \\\] Derivando (regla del cociente) y evaluando en \\(t=0\\): \\(\\mathbb{E}\[Y\]=m\_Y'(0) = 1/p\\). Derivando una segunda vez, \\(\\mathbb{E}\[Y^2\]=m\_Y''(0) = (2-p)/p^2\\), y \\\[ \\operatorname{var}(Y) = \\mathbb{E}\[Y^2\]-\\mathbb{E}\[Y\]^2 = \\frac{2-p}{p^2}-\\frac{1}{p^2} = \\frac{1-p}{p^2}=\\frac{q}{p^2}. \\\]

**Propiedades clave:**- **Transformación lineal:** \\(m\_{a+bX}(t) = e^{at} m\_X(bt)\\) - **Teorema de unicidad:** Si \\(m\_X(t) = m\_Y(t)\\) en un entorno de 0, entonces \\(X\\) e \\(Y\\) tienen la misma distribución - **Suma de independientes:** Si \\(X\\) e \\(Y\\) son independientes, \\(m\_{X+Y}(t) = m\_X(t) m\_Y(t)\\)

#### Verificación: Transformación lineal

Distribución base:a (desplazamiento):0b (escala):1.0

Demostración de transformación lineal

\\\[ m\_{a+bX}(t) = \\mathbb{E}\[e^{t(a+bX)}\] = \\mathbb{E}\[e^{ta} e^{tbX}\] = e^{ta} \\mathbb{E}\[e^{(tb)X}\] = e^{ta} m\_X(bt) \\\]

**¿Por qué el teorema de unicidad es importante?**

Permite identificar distribuciones. Si calculamos la FGM de una suma y resulta ser la FGM de una distribución conocida, podemos concluir que la suma sigue esa distribución. Es la base para la demostración del Teorema Central del Límite.

## Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 11, ej. 4b) Sea \\(X\\) v.a. con función generadora de momentos \\(m\_X(t)\\). Demuestre que \\(m\_X(t) \\ge 0\\) para toda \\(t \\in \\mathbb{R}\\).

Para cualquier \\(t\\in\\mathbb{R}\\) y cualquier valor de \\(X\\), la función exponencial satisface \\(e^{tX}>0\\). Como el valor esperado de una variable aleatoria estrictamente positiva es no negativo (de hecho positivo, cuando existe), se sigue que \\(m\_X(t)=\\mathbb{E}\[e^{tX}\] \\ge 0\\) para toda \\(t\\) donde la FGM esté definida.

Si \(X\) e \(Y\) son independientes: \[ m_{X+Y}(t) = m_X(t) \cdot m_Y(t) \] Esto permite encontrar la distribución de sumas de variables independientes.

#### Calculadora de suma de independientes

Distribución de X:Distribución de Y:

**Ejemplos clásicos (por unicidad):** - \\(X\_i \\sim \\text{Poisson}(\\lambda\_i)\\) independientes ⇒ \\(\\sum X\_i \\sim \\text{Poisson}(\\sum \\lambda\_i)\\) - \\(X\_i \\sim \\text{Binomial}(n\_i, p)\\) independientes ⇒ \\(\\sum X\_i \\sim \\text{Binomial}(\\sum n\_i, p)\\) - \\(X\_i \\sim N(\\mu\_i, \\sigma\_i^2)\\) independientes ⇒ \\(\\sum X\_i \\sim N(\\sum \\mu\_i, \\sum \\sigma\_i^2)\\)

**¿La suma de Bernoulli independientes qué distribución sigue?**

Si \\(X\_i \\sim \\text{Bernoulli}(p)\\) independientes, entonces \\(S\_n = \\sum\_{i=1}^n X\_i \\sim \\text{Binomial}(n,p)\\). La FGM de Bernoulli es \\(q+pe^t\\), elevada a la n da \\((q+pe^t)^n\\), que es la FGM de Binomial(n,p).

## Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 11, ej. 5) Una variable aleatoria \\(X\\) tiene función generadora de momentos \\(m\_X(t)=(0.2e^t+0.8)^8\\). Determine: (a) la distribución de \\(X\\), (b) \\(\\mathbb{P}\[X>0\]\\) y \\(\\mathbb{P}\[1\\le X\\le4\]\\), (c) esperanza y varianza.

(a) La forma \\((q+pe^t)^n\\) con \\(p=0.2\\), \\(q=0.8\\), \\(n=8\\) es la FGM de \\(X\\sim\\text{Binomial}(8, 0.2)\\); por el teorema de unicidad, \\(X\\) tiene exactamente esa distribución. (b) \\(\\mathbb{P}\[X>0\] = 1-\\mathbb{P}\[X=0\] = 1-(0.8)^8 \\approx 0.8322\\). \\(\\mathbb{P}\[1\\le X\\le4\] = \\sum\_{k=1}^4\\binom{8}{k}(0.2)^k(0.8)^{8-k} \\approx 0.8218\\). (c) \\(\\mathbb{E}\[X\]=np=1.6\\), \\(\\operatorname{var}(X)=np(1-p)=1.28\\).

¿Los momentos determinan la distribución? **NO**. Existen distribuciones distintas con los mismos momentos. La **FGM** (cuando existe) sí determina la distribución de manera única.

#### Contraejemplo: Lognormal vs Distribución "perturbada"

Contraejemplo del PDF

Lognormal: \\(f\_X(x) = \\frac{1}{x\\sqrt{2\\pi}} e^{-(\\log x)^2/2} \\mathbb{1}\_{(0,\\infty)}(x)\\) Distribución "perturbada": \\(f\_Y(y) = f\_X(y)\[1 + \\sin(2\\pi \\log y)\] \\mathbb{1}\_{(0,\\infty)}(y)\\) ¡Tienen exactamente los mismos momentos para todo r = 1,2,3,...!

**Momentos de la Lognormal(μ=0, σ=1):** \[ \mathbb{E}[X^r] = e^{r^2/2} \] Por ejemplo: \\(\\mathbb{E}\[X\] = e^{1/2} \\approx 1.6487\\), \\(\\mathbb{E}\[X^2\] = e^{2} \\approx 7.3891\\)

**¿La FGM de la Lognormal existe?**

¡No! Aunque tiene todos los momentos finitos, la integral \\(\\int\_0^\\infty e^{tx} f\_X(x) dx\\) diverge para cualquier \\(t > 0\\). Es un ejemplo de distribución que tiene momentos pero no FGM.

## Ejercicio

Usando la fórmula \\(\\mathbb{E}\[X^r\] = e^{r^2/2}\\) de la Lognormal(0,1), calcule \\(\\mathbb{E}\[X^3\]\\) y \\(\\mathbb{E}\[X^4\]\\).

\\\[ \\mathbb{E}\[X^3\] = e^{9/2} \\approx 90.017, \\qquad \\mathbb{E}\[X^4\] = e^{8} \\approx 2980.96. \\\] Estos crecen muy rápido con \\(r\\) — precisamente esta tasa de crecimiento es la razón por la que la serie que definiría la FGM (\\(\\sum\_r \\mathbb{E}\[X^r\]t^r/r!\\)) diverge para todo \\(t>0\\): los momentos crecen como \\(e^{r^2/2}\\), mucho más rápido que \\(r!\\) puede compensar.

La **función característica** de una v.a. \(X\) es: \[ \varphi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}] = \mathbb{E}[\cos(tX)] + i\mathbb{E}[\sin(tX)] \] **Siempre existe** para todo \(t \in \mathbb{R}\).

#### Comparativa: FGM vs FC

Distribución:

**Relación FGM ↔ FC:** Si la FGM existe, entonces \\(\\varphi\_X(t) = m\_X(it)\\). **Propiedad de simetría:** Si la distribución es simétrica alrededor de 0, \\(\\varphi\_X(t)\\) es real. Ejemplos: Normal(0,1) → \\(\\varphi(t) = e^{-t^2/2}\\); Cauchy(0,1) → \\(\\varphi(t) = e^{-|t|}\\).

**¿Por qué la función característica siempre existe?**

Porque \\(|e^{itX}| = |\\cos(tX) + i\\sin(tX)| = 1\\) para todo \\(t, X\\). Por lo tanto, \\(|\\varphi\_X(t)| \\le \\mathbb{E}\[|e^{itX}|\] = 1\\), y la integral o suma converge absolutamente.

## Ejercicio

Usando la relación \\(\\varphi\_X(t) = m\_X(it)\\) y la FGM de Poisson(λ), \\(m\_N(t)=e^{\\lambda(e^t-1)}\\), encuentre la función característica de Poisson(λ).

Sustituyendo \\(t\\) por \\(it\\) en la FGM: \\\[ \\varphi\_N(t) = m\_N(it) = e^{\\lambda(e^{it}-1)}. \\\] A diferencia de la FGM, esta expresión está bien definida para todo \\(t\\in\\mathbb{R}\\) real, ya que \\(e^{it}\\) siempre tiene módulo 1 (no hay problema de divergencia como en la Lognormal).