Distribuciones Discretas Paramétricas
- Distribuciones Bernoulli y Binomial
- Distribución Geométrica y Pérdida de Memoria
- Distribución Binomial Negativa
- Distribución Poisson
- Distribución Hipergeométrica
Distribuciones Bernoulli y Binomial
Bernoulli(p): \(X \in \{0,1\}\), \(f(x)=p^x(1-p)^{1-x}\), \(\mathbb{E}[X]=p\), \(\operatorname{var}(X)=p(1-p)\)
Binomial(n,p): \(X = \sum_{i=1}^n Y_i\), \(f(x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}\), \(\mathbb{E}[X]=np\), \(\operatorname{var}(X)=np(1-p)\)
Binomial(n,p): \(X = \sum_{i=1}^n Y_i\), \(f(x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}\), \(\mathbb{E}[X]=np\), \(\operatorname{var}(X)=np(1-p)\)
Simulador Binomial
20
0.30
Ejemplo del PDF (cajas dañadas): n=20, p=0.03
\(\mathbb{E}[X]=0.6\), \(\operatorname{var}(X)=0.582\), \(\mathbb{P}(X>1)=0.1199\)
Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 14, ej. 2) Demuestre que si \(X\sim\text{Bin}(n,p)\), entonces se tiene la fórmula recurrente:
\[ \mathbb{P}(X=x+1) = \frac{(n-x)p}{(x+1)(1-p)}\mathbb{P}(X=x). \] Partiendo de la f.m.p.: \(\dfrac{\mathbb{P}(X=x+1)}{\mathbb{P}(X=x)} = \dfrac{\binom{n}{x+1}p^{x+1}(1-p)^{n-x-1}}{\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}}\). Usando \(\binom{n}{x+1}/\binom{n}{x} = (n-x)/(x+1)\), el cociente se simplifica a \(\dfrac{(n-x)}{(x+1)}\cdot\dfrac{p}{1-p}\), que es exactamente la fórmula buscada. Esta recurrencia es útil para calcular tablas de la binomial sin recomputar factoriales completos en cada paso.Distribución Geométrica y Pérdida de Memoria
Geométrica(p): número de fracasos hasta el primer éxito.
\[
f_X(x) = p(1-p)^x, \quad x=0,1,2,\ldots
\]
\(\mathbb{E}[X] = \frac{1-p}{p}\), \(\operatorname{var}(X) = \frac{1-p}{p^2}\)
Pérdida de memoria: \(\mathbb{P}(X \ge m+n | X \ge m) = \mathbb{P}(X \ge n)\)
Pérdida de memoria: \(\mathbb{P}(X \ge m+n | X \ge m) = \mathbb{P}(X \ge n)\)
Verificación de pérdida de memoria
0.30
3
2
Demostración de pérdida de memoria
\[ \mathbb{P}(X \ge n) = \sum_{k=n}^{\infty} p q^k = \frac{p q^n}{1-q} = q^n \] \[ \mathbb{P}(X \ge m+n | X \ge m) = \frac{q^{m+n}}{q^m} = q^n = \mathbb{P}(X \ge n) \]¿Qué distribución continua tiene pérdida de memoria?
La distribución Exponencial es el análogo continuo de la Geométrica. Ambas son las únicas distribuciones (discreta y continua) que satisfacen la propiedad de pérdida de memoria.Ejercicio
Sea \(X\sim\text{Geométrica}(p=0.2)\) (fracasos hasta el primer éxito, \(q=0.8\)). Calcule \(\mathbb{P}(X\ge10 \mid X\ge5)\) y verifique numéricamente que coincide con \(\mathbb{P}(X\ge5)\).
Usando \(\mathbb{P}(X\ge k)=q^k\): \(\mathbb{P}(X\ge5)=0.8^5\approx0.3277\) y \(\mathbb{P}(X\ge10)=0.8^{10}\approx0.1074\). Entonces \[ \mathbb{P}(X\ge10\mid X\ge5) = \frac{\mathbb{P}(X\ge10)}{\mathbb{P}(X\ge5)} = \frac{0.8^{10}}{0.8^5} = 0.8^5 \approx 0.3277 = \mathbb{P}(X\ge5). \] Confirma la pérdida de memoria: haber fallado ya 5 veces no cambia la probabilidad de necesitar 5 fracasos más.Distribución Binomial Negativa
Binomial Negativa(r,p): número de fracasos hasta el r-ésimo éxito.
\[
f_X(x) = \binom{r+x-1}{x} p^r (1-p)^x, \quad x=0,1,2,\ldots
\]
\(\mathbb{E}[X] = r\frac{1-p}{p}\), \(\operatorname{var}(X) = r\frac{1-p}{p^2}\)
Caso particular: \(r=1\) → Geométrica.
Caso particular: \(r=1\) → Geométrica.
Simulador Binomial Negativa
3
0.40
Ejemplo: Para r=3, p=0.4, \(\mathbb{E}[X]=3·0.6/0.4=4.5\), \(\operatorname{var}(X)=3·0.6/0.16=11.25\)
Ejercicio
Un vendedor tiene probabilidad 0.3 de cerrar una venta en cada visita, de forma independiente entre visitas. Si \(X\) es el número de visitas fallidas antes de lograr su tercera venta, encuentre \(\mathbb{E}[X]\) y \(\operatorname{var}(X)\).
Aquí \(X\sim\text{Binomial Negativa}(r=3, p=0.3)\). Usando las fórmulas: \[ \mathbb{E}[X] = r\frac{1-p}{p} = 3\cdot\frac{0.7}{0.3} = 7, \qquad \operatorname{var}(X) = r\frac{1-p}{p^2} = 3\cdot\frac{0.7}{0.09} \approx 23.33. \] En promedio, el vendedor necesitará 7 visitas fallidas (10 visitas en total) antes de lograr su tercera venta.Distribución Poisson
Poisson(λ): modela el número de eventos raros en un intervalo.
\[
f_X(x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}, \quad x=0,1,2,\ldots
\]
\(\mathbb{E}[X] = \lambda\), \(\operatorname{var}(X) = \lambda\)
Aproximación binomial: Si \(n\) grande y \(p\) pequeño, \(\text{Bin}(n,p) \approx \text{Po}(np)\)
Aproximación binomial: Si \(n\) grande y \(p\) pequeño, \(\text{Bin}(n,p) \approx \text{Po}(np)\)
Simulador Poisson y aproximación Binomial
4.0
Aproximación Poisson a Binomial
\[ \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x} \approx \frac{(np)^x e^{-np}}{x!}, \quad n \to \infty, p \to 0, np = \lambda \] En la simulación se compara la distribución empírica con la teórica Poisson.Ejemplo del PDF (conglomeración de gente): λ=4 personas/2m²
\(\mathbb{P}(X=0)=e^{-4}=0.0183\)
En 4m², λ=8, \(\mathbb{P}(Y \ge 3)=1-\sum_{k=0}^{2} e^{-8}8^k/k! = 0.986\)
¿Por qué la media y varianza son iguales en Poisson?
Es una propiedad característica de la distribución Poisson. En la práctica, si la media muestral y la varianza muestral son muy diferentes, es probable que los datos no sigan una distribución Poisson.Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 14, ej. 6) Sea \(Y\sim\text{Poisson}(\lambda)\). Si se sabe que \(\mathbb{P}(Y=0)=\mathbb{P}(Y=1)\), encuentre \(\lambda\) y calcule \(\mathbb{P}(Y=2)\).
Igualando las probabilidades: \[ e^{-\lambda} = \lambda e^{-\lambda} \implies \lambda = 1. \] Entonces \[ \mathbb{P}(Y=2) = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{1^2 e^{-1}}{2} = \frac{e^{-1}}{2} \approx 0.18394. \]Distribución Hipergeométrica
Hipergeométrica(N, M, n): muestreo sin reemplazo.
\[
f_X(x) = \frac{\binom{M}{x} \binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}}, \quad x=0,1,\ldots,n
\]
\(\mathbb{E}[X] = n\frac{M}{N}\), \(\operatorname{var}(X) = n\frac{M}{N}\frac{N-M}{N}\frac{N-n}{N-1}\)
Simulador Hipergeométrico
50
10
5
Relación con Binomial: Cuando N es grande, la Hipergeométrica se aproxima a Binomial(n, p) con p = M/N. El factor de corrección \(\frac{N-n}{N-1}\) se llama factor de corrección por población finita.