Desigualdades
- Desigualdad de Markov
- Desigualdad de Chebyshev
- Chebyshev Unilateral (Cantelli)
- Desigualdad de Jensen
Desigualdad de Markov
Desigualdad de Markov: Sea \(X\) una variable aleatoria no negativa con media finita \(\mu_X\). Entonces, para todo \(c > 0\):
\[
\mathbb{P}(X \ge c) \le \frac{\mathbb{E}[X]}{c} = \frac{\mu_X}{c}
\]
Verificación interactiva
2.0
Demostración (caso continuo)
\[ \mu_X = \int_0^\infty x f(x) dx \ge \int_c^\infty x f(x) dx \ge c \int_c^\infty f(x) dx = c \cdot \mathbb{P}(X \ge c) \] Por lo tanto, \(\mathbb{P}(X \ge c) \le \mu_X / c\).Ejemplo: Si el tiempo medio de reparación es 6.2 horas, la probabilidad de que una reparación tome más de 22.5 horas es:
\[ \mathbb{P}(X \ge 22.5) \le \frac{6.2}{22.5} \approx 0.2756 \]¿Por qué Markov solo funciona para variables no negativas?
La demostración usa que \(x \ge c\) dentro de la integral \(\int_c^\infty\). Si \(X\) pudiera tomar valores negativos, la desigualdad no se cumpliría (por ejemplo, una normal con media 0 daría \(\mathbb{P}(X \ge c) > 0\) pero el lado derecho sería 0).Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 13, ej. 3) Desigualdad de Chebyshev extendida: sea \(X\) variable aleatoria cualquiera y \(g\ge0\) una función no decreciente tal que \(\mathbb{E}[g(X)] < \infty\). Demuestre que para toda \(\varepsilon>0\),
\[ \mathbb{P}(X \ge \varepsilon) \le \frac{\mathbb{E}[g(X)]}{g(\varepsilon)} \] Como \(g\) es no decreciente, \(X\ge\varepsilon \Rightarrow g(X)\ge g(\varepsilon)\), así que \(\{X\ge\varepsilon\}\subseteq\{g(X)\ge g(\varepsilon)\}\) y por lo tanto \(\mathbb{P}(X\ge\varepsilon)\le\mathbb{P}(g(X)\ge g(\varepsilon))\). Aplicando Markov a la variable no negativa \(g(X)\) con umbral \(g(\varepsilon)\): \(\mathbb{P}(g(X)\ge g(\varepsilon)) \le \mathbb{E}[g(X)]/g(\varepsilon)\). Esta es precisamente la desigualdad de Markov (\(g(x)=x\)) cuando \(g\) es la identidad, y de aquí también se deduce Chebyshev tomando \(g(x)=x^2\).Desigualdad de Chebyshev
Desigualdad de Chebyshev: Sea \(X\) con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\) finitas. Entonces, para todo \(\epsilon > 0\):
\[
\mathbb{P}(|X - \mu| \ge \epsilon) \le \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}
\]
Equivalentemente, para \(k > 0\):
\[
\mathbb{P}(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}, \quad \mathbb{P}(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}
\]
Visualización: Cota de Chebyshev vs probabilidad real
2.0
Demostración
Sea \(Y = (X - \mu)^2 \ge 0\). Aplicando Markov a \(Y\) con \(c = \epsilon^2\): \[ \mathbb{P}((X-\mu)^2 \ge \epsilon^2) \le \frac{\mathbb{E}[(X-\mu)^2]}{\epsilon^2} = \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} \] Como \(\{(X-\mu)^2 \ge \epsilon^2\} = \{|X-\mu| \ge \epsilon\}\), se obtiene el resultado.Ejemplo del PDF (tienda): Número de clientes por día: media 20, desviación 2.
\[ \mathbb{P}(17 \le X \le 23) = \mathbb{P}(|X-20| < 3) \ge 1 - \frac{4}{9} \approx 0.5556 \]Con \(k=2\) (2 desviaciones): \(\mathbb{P}(|X-20| < 4) \ge 1 - 1/4 = 0.75\)
¿La cota de Chebyshev es siempre ajustada?
No, generalmente es conservadora. Pero puede alcanzarse, como en la distribución discreta del PDF con \(P(X=-1)=1/8, P(X=0)=6/8, P(X=1)=1/8\), donde \(\mathbb{P}(|X| \ge 1) = 1/4\) y la cota de Chebyshev es exactamente \(1/4\).Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 13, ej. 5) La casa de monedas produce monedas de 10 centavos con un promedio de 0.5 pulgadas y desviación estándar de 0.01 pulgadas. Con la desigualdad de Chebyshev, encuentre una cota inferior para el número de monedas de un lote de 400 monedas que se espera que tengan un diámetro entre 0.48 y 0.52 pulgadas.
El intervalo \((0.48, 0.52)\) es \(\mu \pm 2\sigma\) (pues \(2\sigma = 0.02\)), así que \(k=2\). Por Chebyshev, \(\mathbb{P}(|X-\mu|<2\sigma) \ge 1 - 1/4 = 3/4\). De 400 monedas, se espera entonces que al menos \(400 \times 3/4 = 300\) tengan diámetro en ese rango.Chebyshev Unilateral (Cantelli)
La desigualdad de Chebyshev unilateral (o de Cantelli) acota la probabilidad de una cola:
\[
\mathbb{P}(X - \mu \ge a) \le \frac{\sigma^2}{\sigma^2 + a^2}, \quad a > 0
\]
Análogamente, \(\mathbb{P}(X - \mu \le -a) \le \frac{\sigma^2}{\sigma^2 + a^2}\).
Comparación: Chebyshev bilateral vs unilateral
0
1.0
2.0
Ejemplo del PDF (reparación de máquina):
Tiempo medio: \(\mu = 6.2\) h, desviación \(\sigma = 3.52\) h.
Empleado nuevo tarda 22.5 h → \(a = 16.3\).
¡Solo 4.46% de probabilidad! → El empleado probablemente necesita entrenamiento.
¿Por qué la cota unilateral es más ajustada que la bilateral?
La cota bilateral \(\mathbb{P}(|X-\mu| \ge a) \le \sigma^2/a^2\) considera ambas colas. Para una cola, la probabilidad es aproximadamente la mitad, y la cota unilateral \(\sigma^2/(\sigma^2+a^2)\) es más pequeña (mejor) que \(\sigma^2/a^2\) cuando \(a\) es grande.Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 13, ej. 7) Sea \(Y\) variable aleatoria tal que \(\mu = 11\) y \(\sigma^2 = 9\). (a) Aproxime \(\mathbb{P}(6 < Y < 16)\). (b) Encuentre \(c\) tal que \(\mathbb{P}(|Y - \mu| > c) = 0.09\).
(a) El intervalo \((6,16)\) es \(\mu \pm 5\), con \(\sigma=3\) esto es \(k=5/3\). Por Chebyshev bilateral, \(\mathbb{P}(|Y-11|<5) \ge 1 - \frac{9}{25} = 0.64\).(b) Se busca \(c\) tal que \(\sigma^2/c^2 = 0.09\), es decir \(c^2 = 9/0.09 = 100\), así \(c=10\).
Desigualdad de Jensen
Definición: una función \(h\) continua en \(\mathbb{R}\) se dice convexa si para todo \(x_0\in\mathbb{R}\) existe una recta \(\ell(x) = a+bx\) que pasa por \((x_0, h(x_0))\) y queda por debajo de \(h(x)\); esto es, \(\ell(x)\le h(x)\) para todo \(x\in\mathbb{R}\).
Desigualdad de Jensen: Si \(h\) es una función convexa, entonces
\[ \mathbb{E}[h(X)] \ge h(\mathbb{E}[X]) \]Si \(h\) es cóncava, la desigualdad se invierte:
\[ \mathbb{E}[h(X)] \le h(\mathbb{E}[X]) \]Verificación de Jensen para diferentes funciones
Demostración geométrica
Para una función convexa \(h\), existe una recta soporte \(\ell(x) = a + bx\) que pasa por \((\mathbb{E}[X], h(\mathbb{E}[X]))\) y satisface \(h(x) \ge \ell(x)\) para todo \(x\). Tomando esperanza: \[ \mathbb{E}[h(X)] \ge \mathbb{E}[\ell(X)] = a + b\mathbb{E}[X] = \ell(\mathbb{E}[X]) = h(\mathbb{E}[X]) \]Ejemplo del PDF: \(X \sim \text{Unif}(0,1)\), \(h(x)=x^2\) (convexa).
\[ \mathbb{E}[X] = \frac{1}{2}, \quad h(\mathbb{E}[X]) = \frac{1}{4} \] \[ \mathbb{E}[h(X)] = \mathbb{E}[X^2] = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \ge 0.25 \]Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 13, ej. 12) Sea \(X\) variable aleatoria no negativa con \(\mathbb{E}(X) = 10\). ¿Qué puede concluir de las siguientes cantidades? (a) \(\mathbb{E}\left[\frac{1}{X+1}\right]\). (b) \(\mathbb{E}\left[e^{1/(X+1)}\right]\). (c) \(\mathbb{E}[\ln(\sqrt{X})]\).
(a) \(h(x)=1/(x+1)\) es convexa para \(x\ge0\), así que por Jensen \(\mathbb{E}[1/(X+1)] \ge 1/(\mathbb{E}[X]+1) = 1/11\).(b) \(h(x)=e^{1/(x+1)}\) es composición de una función convexa decreciente (\(1/(x+1)\)) con la exponencial (convexa creciente), por lo que sigue siendo convexa; entonces \(\mathbb{E}[e^{1/(X+1)}] \ge e^{1/11}\).
(c) \(h(x)=\ln(\sqrt{x}) = \tfrac12\ln x\) es cóncava, así que la desigualdad se invierte: \(\mathbb{E}[\ln(\sqrt{X})] \le \ln(\sqrt{10})\).